数列题

问：数列题

来自河北省高碑店市的网友管玉戈的解答：

  设数列｛an｝,n∈N*,是等差数列，且公差为d,若数列｛an｝中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”。 （1）设Sn是数列｛an｝的前n项和，若公差d=1,a1>0,试问：是否存在这样的“封闭数列”，使lim（1/S1+1/S2+。
  。。1/Sn）=11/9;若存在，求｛an｝的通项公式，若不存在，说明理由。 解：am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d是等差数列{an}中的一项，必须且只需a1/d为正整数。 取a1=2,Sn=n(n+3)/2。
   1/S1+1/S2+。。。1/Sn =2/3*[1-1/4+1/2-1/5+1/3-1/6+1/4-1/7+……+1/n-1/(n+3)] =2/3[1+1/2+1/3-1/(n+1)-1/(n+2)-1/(n+3)] →2/3*11/6=11/9（n→+∞）。
   （2）试问：数列｛an｝为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明。 解：若数列｛an｝为“封闭数列”，则 a1+a1=a1+(n-1)d,n>1, a1=(n-1)d, 若d=0,则a1=0,an=0。 若d≠0，则a1/d=n-1为正整数。
   反之，若a1/d=正整数k,则 am+ap=a1+(m-1)d+a1+(p-1)d =a1+(k+m+p-2)d, 其中k+m+p-2是正整数， ∴am+ap是等差数列{an}的第（k+m+p-1)项。 综上，非零数列｛an｝为“封闭数列”的充要条件是首项为公差的正整数倍。
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