为什么 e^(ix) = cosx isinx

问：为什么 e^(ix) = cosx isinx

来自江苏省扬中市的网友小嘉木吖的解答：

要证明这个结论，需要一定的知识基础1）泰勒级数2）求导运算希望已经具备。首先给出泰勒展开公式。一个可导函f(x)可以在x0点处进行展开。f(x)=f(x0)f'(x0)(x-x0)f''(x0)/2!*(x-x0)^2f'''(x0)/3!*(x-x0)^3……f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n按照这个可以对cosx和sinx在x=0处进行展开f(x)=cosx=cos0-sin0*x-cos0*x^2/2!sin0*x^3/3!cos0*x^4/4!……=1-x^2/2!x^4/4!-x^6/6!……f(x)=sinx=sin0cos0*x-sin0*x^2/2!-cos0*x^3/3!sin0*x^4/4!……=x-x^3/3!x^5/5!-x^7/7!……同样，也可以对f(x)=e^x进行x=0处的泰勒展开。f(x)=e^x=e^0e^0*xe^0*x^2/2!e^0*x^3/3!……e^0*x^n/n!=1xx^2/2!x^3/3!……x^n/n!用ix替换上面的x，得到e^(ix)的多极泰勒展开。f(x)=e^(ix)=1ix-x^2/2!-ix^3/3!x^4/4!ix^5/5!-x^6/6!=(1-x^2/2!x^4/4!-x^6/6!……)i(x-x^3/3!x^5/5!-x^7/7!……)可以看到第一个括弧中的表达式恰好与cosx的展开式相同，第二个括弧中的展开式与sinx的展开式相同。因此e^(ix)=cosxisinx